Номер и изображение

1. Теодора Сикиоти и Винсент Дегнер: Додекаплекс
2. Антония Бергер и Флориан Волк: двойные додекаэдры
3. Ян Воггенедер и Саша Зильке: гиперболическое покрытие
4. Нильс Отто и Патрик Халбриттер: р-функция Вейерштрасса
5. Флориан Бюргер, Тобиас Фикс, Джулиан Кресс и Энн-Катрин Шмитт: Cartoide - едкий
6. Мартин Пенсе: Юлия и миндальный хлеб
7. Мариус Клинг и Себастьян Хассемер: Schmidtsche Kreiskonfigurationen
8. Ян Дисельхофф и Саймон Швейцер: группы Шоттки
9. Мануэль Краммек, Тамара Нутц и Ким Возен: обнуление полиномов Литтлвуда
10. Свен Партенхеймер и Даниэль Шиш: комплекс

Этот основной семинар о создании визуально привлекательного изображения, в котором представлено математическое содержание. Далее следуют результаты прошедших семестров, сгенерированные студентами.

Теодора Сикиоти и Винсент Дегнер: Додекаплекс

Антония Бергер и Флориан Волк: двойные додекаэдры

Додекаэдр - это тело, поверхность которого состоит только из правильных пятиугольников. Всего их двенадцать, из которых по три встречаются в одном углу. Он один из пяти платоновских тел. Еще один куб. Если вы внимательно посмотрите на додекаэдр, вы заметите, что вы найдете в нем несколько кубов. Один из них показан напротив.

Если начинать с пятиугольника додекаэдра и смотреть там фиксированную диагональ, то можно найти ровно восемь углов додекаэдра, которые образуют куб, у которого эта диагональ является ребром.
Это то же самое с любой другой диагональю, которая показана на соседних изображениях. Таким образом, в додекаэдре можно обнаружить ровно пять разных кубов.

п.

Над каждым из этих кубов мы можем наконец сформировать еще один додекаэдр. Этот процесс показан на правильном рисунке. Исходный додекаэдр вращается над любой гранью куба на \ (90 ^ \ circ \). Мы называем созданный таким образом додекаэдр \ textbf {twin dodecahedron}. Если вы начнете с додекаэдра и сформируете соответствующего двойника на каждую из пяти костей, вы получите пять двойных додекаэдров. Из них, конечно, вы можете снова сформировать близнецов - и так далее. Удивительная вещь:

Повторяя этот процесс, вы получаете бесконечное количество разных додекаэдров!

Вершины всех этих додекаэдров лежат на сферической поверхности. На двух постерах додекаэдры проецировались в плоскость посредством стереографической проекции. Как и на карте, все искажено. В то время как каждый видит края всех додекаэдров в их развитии до четвертого шага, один находится на другом
На картинке показаны только углы. Самые темные точки принадлежат оригинальному додекаэдру. Вы находите все углы, которые принадлежат одной из боковых поверхностей?

Ян Воггенедер и Саша Зильке: гиперболическое покрытие

Нильс Отто и Патрик Халбриттер: р-функция Вейерштрасса

Флориан Бюргер, Тобиас Фикс, Джулиан Кресс и Энн-Катрин Шмитт: Cartoide - едкий

Мартин Пенсе: Юлия и миндальный хлеб

Мариус Клинг и Себастьян Хассемер: Schmidtsche Kreiskonfigurationen

Преобразования Мёбиуса - это картины формы
\ [f (z) = \ frac {a z + b} {cz + d}, \] с параметрами \ (a, b, c \) и \ (d \), где \ (ad - bc = 1 \ ) есть. При этом мы берем \ (f \) как представление плоскости комплексного числа на себе. Он состоит из так называемых комплексных чисел, то есть чисел типа \ (z = x + i \ cdot y \), где мнимой единицей являются \ (i = \ sqrt {-1} \) и \ (x \), а также \ (у \) от действительных чисел. Если мы используем реальные значения для \ (z \), точки \ (f (z) \) лежат на окружности (или прямой линии). В качестве иллюстрации это означает, что реальная ось согнута в круг. Также допустимы комплексные числа для параметров, таким образом формируя
\ [f (z) = \ frac {1-zi} {zi} \] реальная линия, как показано на чертеже, по кругу.

Теперь мы меняем коэффициенты по всем комплексным числам, то есть те \ (z = x + i \ cdot y \) для \ (x \) и \ (y \) из целого Числа есть, и рисует для всех преобразований Мёбиуса описанную выше окружность, мы получаем конфигурацию окружности имени Шмидта.Прилегающий график показывает повернутый участок плоскости комплексного числа только с этой структурой.
В дополнение к комплексным числам, уже рассмотренным Гауссом, в теории чисел есть и другие важные числовые области. Если кто-то выбирает параметры из одного из них, с помощью аналогичной процедуры можно также получить конфигурации окружностей. Появление только этих конфигураций раскрывает важные свойства диапазонов номеров.

Ян Дисельхофф и Саймон Швейцер: группы Шоттки

Начнем с 4 кругов. Внешность одного круга мы формируем внутри противоположного. Как показано на соседнем рисунке, большой круг справа почти перевернут вокруг самого маленького красного круга. Три красных кружка уменьшены, как показано стрелками. Повторяя эту иллюстрацию снова, создаются светло-оранжевые круги. Иллюстрации такого типа, которые изображают круги на кругах, называются преобразованиями Мёбиуса. Они названы в честь немецкого математика Августа Фердинанда Мёбиуса (1790–1868) и являются важным компонентом теории сложных функций.

Таким образом, только что описанным способом мы получаем для двух противоположных кругов мёбиус-трансформацию и ее обращение в общей сложности 4 изображения. Если применить это четыре отображения во всех возможных последовательностях снова и снова к исходной конфигурации четырех окружностей, фрактальные структуры получаются в результате этих бесконечных повторений. При определенных условиях круги, образованные этим бесконечным процессом, объединяются в замкнутую линию очаровательной красоты.

Совокупность возможных композиций четырех преобразований Мёбиуса вместе образует так называемую группу Шоттки. Это вообще бесчисленная бесконечная группа. Соседний плакат демонстрирует, как эта группа действует в целом на плоскости.

Мануэль Краммек, Тамара Нутц и Ким Возен: обнуление полиномов Литтлвуда

Для этого пламенного изображения мы рассмотрим некоторые особые функции: полиномы Литтлвуда (LWP). Они имеют общую форму:
\ [
f (x) = \ pm 1 \ pm x \ pm x ^ {2} \ pm ... \ pm x ^ {n}
\] Вы уже можете увидеть их особенность здесь: все префакторы $ x $ являются \ (1 \) или \ (- 1 \). Например, рассмотрим \ (f (x) = 1 + x + x ^ {2} \). Это имеет степень 2, соответствующую наибольшей степени \ (х \). Формула \ (pq \) возвращает два нуля \ (f (x) \)
\ [ \ texttyle x_ {1,2} = - \ frac {1} {2} \ pm \ sqrt {(\ frac {1} {2}) ^ 2-1} = - \ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {-3}} {2}.
\] В действительных числах \ (f (x) \) не имеет корня, потому что у нас есть отрицательное число под корнем, \ (- 3 \). Добавление мнимой единицы \ (i \) к действительным числам дает комплексные числа. Это устройство \ (i \) имеет следующее свойство: \ (i ^ 2 = -1 \). С помощью этого трюка вы можете получить корень из отрицательных чисел и получить два сложных нуля:
\ [
\ texttyle - \ frac {1} {2} + \ frac {\ sqrt {3}} {2} i \ text {and} - \ frac {1} {2} - \ frac {\ sqrt {3}} { 2} я
\] Теперь вы можете вычесть нули в результирующей плоскости комплексных чисел, где \ ((- \ frac {1} {2}) \) в плоскости чисел справа и \ ((\ frac {\ sqrt {3}} {2} i) \) убираются вверх. Но две точки не делают картину надолго! Но если вы построите все 90 миллионов нулей всех LWP степени 22, то есть \ (f (x) = x ^ {22} \ pm x ^ {21} \ pm ... \ pm 1 \) в плоскости чисел, тогда вы получаете кольцо и красивые драконоподобные узоры. Чтобы получить окраску, точки, которые часто встречаются как ноль, рисуются намного ярче, чем точки, которые редко встречаются как ноль. Белые пятна встречаются до 500 000 раз, например, яркое кольцо и пики узоров на краю нуля.

Интересно, что узоры границ очень похожи на кривые дракона. Соединение подозревается, но математически еще не полностью изучено. Может быть, этот плакат заинтересовал вас в изучении этих отношений?

Если вы раскрасите нулевой набор полиномов Литтлвуда
с цветами радуги, это создает новую картину. Это был каждый
Литлвуд полином, как указано, подразумевающий цвет спектрального цветового диапазона. Затем полиномы передают свое окрашивание в соответствующие им нули.

На плакате ниже показан разрез нижнего правого квадранта
Литтлвуд ноль установлен. Вы замечаете что-нибудь в интерьере круга? близлежащий
Нули имеют одинаковый цвет! Но почему это? Мы хотели бы сделать это в один
Проиллюстрируем пример:

Рассмотрим кривую желтого дракона в центре плаката вокруг точки
\ ((0 {,} 43; -0 {,} 48) \). Вот некоторые нули функций, которые являются желтыми
Цветовой диапазон назначается, т.е.
\ [
f (x) = 1 - x - x ^ 2 - ... - x ^ 8 + x ^ 9 - x ^ {10} \ pm x ^ {11} \ pm ... \ pm x ^ {21}
\ pm x ^ {22}
\] Подставляя это \ (x = (0 {,} 43; -0 {,} 48) \ in \ emph {all} полиномов Литтлвуда с приведенным выше
Раскрасив, мы получим для значений функции \ (f (x) \) небольшую кривую дракона, показанную слева. Кроме того, их желтая часть почти совпадает с соответственно окрашенной (желтой) областью нулевых точек Литтлвуда вокруг точки \ (x \) на соседнем плакате.
При незначительном изменении этого значения \ (x \) кривая воздушного змея меняется
минимальное, а также расположение точек в наборе нулей Литтлвуда.

Свен Партенхеймер и Даниэль Шиш: комплекс

На соседнем рисунке приведен график функции
\ [f (x) = \ frac {1} {x ^ {5}} \ cdot \ frac {x ^ {11} -1} {x-1} \]. На графике, кроме оси \ (y \) в виде вертикальной асимптоты, не так много
Функция читабельна.

Это изменится, если мы рассмотрим плоскость комплексного числа \ (\ mathbb {C} \) вместо действительного луча числа, элементы которого представлены как \ (x = a + ib \), где \ (a \) и \ (b \) являются действительными числами, пусть пишут. Это комплексное число \ (x \) соответствует точке чертежа с координатами \ ((a, b) \). Как обычно, мы вычисляем с комплексными числами, используя правило \ (i ^ 2 = -1 \). Однако, пытаясь реализовать график сложной функции, мы сталкиваемся с проблемой, что необходимы 4 измерения.
Решение этой проблемы показа показано на выставленном плакате. Идея здесь не в том, чтобы убрать значение функции \ (f (x) \) вверх, а в том, чтобы пометить его цветом: каждому комплексному числу сначала присваивается цвет в соответствии со смежной цветовой шкалой, в зависимости от направления относительно начала координат. Теперь мы закрашиваем число \ (x \) плоскости комплексного числа цветом пикселя \ (f (x) \ in \ mathbb {C} \).

Если сделать это для функции, описанной выше (f (x) \) - и разумно добавить штриховку - результат, показанный на плакате. Если пять раз повернуть цветовое колесо в обратном порядке, то теперь можно ясно увидеть пятикратную полюсную точку в нулевой точке, которая определяется коэффициентом \ (1 / x ^ 5 \). Точно так же ясно можно разглядеть 10 круговых, простых нулей. За исключением 1, они лежат как раз на вершинах правильных 11 углов, вписанных в единичный круг. Это только нули полинома 11-го кругового деления
\ [
\ Гидроразрыва {х ^ {11} -1} {х-1} = 1 + х + х ^ 2 + х ^ 3 + х ^ 4 + х ^ 5 + х ^ 6 + х ^ 7 + х ^ 8 + х ^ 9 + х ^ {10},
\] который является вторым фактором нашей функции \ (f (x) \). И неслучайно, что цветовой круг пересекается еще пять раз по краю картинки.

На соседнем графике изображено дерево Пифагора , которое считается фракталами. Источником рисунка является хорошо известное представление теоремы Пифагора, которая состоит из прямоугольного треугольника и смежных квадратов с соответствующей длиной ребра.

Дерево теперь изготавливается из дома с крышей (нижний квадрат с прямоугольным треугольником в качестве кровли), путем перезагрузки дома по сторонам крыши изменяются размеры снова и снова. После 10 повторений этого процесса возникает фигура, показанная справа.

Если вы немного измените этот процесс, разместив дом на правой стороне крыши, как обычно, но с левой стороны крыши дом повернут на 90 градусов влево, вы получите 15 повторений структуры, показанной на плакате. Интересно, что полученная граничная кривая снова аппроксимируется другим фракталом: так называемым двойным змеем . Это происходит из-за удвоения кривой дракона и показано на небольшом графике справа.

Сама кривая дракона является кривой заполнения пространства и формируется в процессе, показанном ниже. Эту кривую дракона также можно получить с помощью сгибов бумаги, многократно сгибая полоску бумаги в середине и затем снова складывая ее так, чтобы сгибы образовывали прямой угол. Попробуй это.

Треугольник Паскаля создается путем записи 1 по краям треугольника, а затем заполнения треугольника так, чтобы каждая запись была просто суммой записей непосредственно над ней. Треугольник Паскаля играет роль во многих областях математики, и в нем скрыто много интересной информации (просто подытожьте строки и посмотрите, что получится).

На приведенном выше графике показан треугольник Паскаля от 0-го до 10-го ряда. Все нечетные записи были выделены серым цветом, а все четные записи - белым. Получившийся рисунок напоминает так называемый треугольник Серпинкси.

Процесс создания треугольника Серпинкси можно увидеть на левой половине плаката. Как указано выше, синие области точно соответствуют нечетным числам. Фигура в правой половине плаката создается аналогичным образом, отмечая неделимые цифры треугольника Паскаля зеленым цветом.

При пересечении двух фигур возникает новый шаблон, который интерпретируется как те элементы треугольника Паскаля, которые не делятся на 3 или 2. Таким образом, освобожденные области соответствуют тем числам, которые делятся на 6. Таким образом, появляется графическое представление так называемой китайской теоремы об остатках, которая гласит, что если \ (a \) и \ (b \) - это два числа, которые не имеют общего делителя, то число делится на произведение \ (ab \), если оба \ (a \) и \ (b \) делят это число.

Штрих является положительным целым числом, которое не может быть записано как произведение меньших чисел. Например, \ (6 = 2 \ cdot 3 \) или \ (100 = 5 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \) не являются простыми числами, а \ (3,5,7 \) или \ (101 \) простые числа. Важность простых чисел связана с тем, что каждое целое число может быть однозначно записано как произведение простых чисел: Это основная теорема арифметики. Итак, простые числа - это самые маленькие компоненты, атомы, целые числа. Исследование простых чисел имеет много простых вопросов, некоторые из которых еще не найдены.

Если вы расширите целые числа другим «числом» $ \ omega $, которое следует правилу расчета \ ((1+ \ omega) = - \ omega ^ 2 \), вы получите \ textbf {Eisensteinzahlen}. Образно говоря, вы можете представить их как точки, противоположные точкам на плоскости. Числа Айронстоуна добавляются как векторы на плоскости. Вы также можете умножить числа Эйзенштейна, например,
\ [
(2+ \ omega) \ cdot (1- \ omega) = 2-2 \ omega + \ omega- \ omega ^ 2 = 2- \ omega + (1+ \ omega) = 3
\] используя правило вычисления \ (- \ omega ^ 2 = (1+ \ omega) \) для загадочного числа \ (\ omega \). Этот расчет показывает, что простое число 3 в числах Эйзенштейна распадается на произведение \ (3 = (2+ \ omega) \ cdot (1- \ omega) \), поэтому простого числа больше нет! На самом деле это делается по-разному - все возможные истинные простые делители числа 3 показаны синим цветом на графике. Разделители 7 показаны зеленым цветом.

Темный плакат показывает простые числа в числах Эйзенштейна. Красные точки принадлежат простым числам целых чисел, таким как 2 или 5, которые все еще являются простыми числами в числах Эйзенштейна. Таким образом, белые точки - это действительно новые простые числа Эйзенштейна, то есть те, которые еще не существуют в целых числах. Заметная 6-симметрия является результатом умножения на 6 единиц \ (1, -1, \ omega, - \ omega, \ omega ^ 2, - \ omega ^ 2 \), которые показаны темно-серым на маленькой картинке.

Яркий плакат показывает простые числа в числовом поле \ (\ mathbb {Q} [\ sqrt {3}] \). Сравнение двух изображений иллюстрирует различия между мнимыми и действительными полями